По всей видимости, максимальная протяженность маршрута составит 34 улицы. Число пройденных улиц равно числу перекрестков, которые удалось посетить, минус один (поскольку начальную точку мы «посетили» изначально, не пройдя еще ни одной улицы). На один перекресток зайти так и не получится: к каждому пройденному перекрестку подходит 2 улицы, по которым надо пройти. В нашем случае непройденным остался один перекресток, и к нему нельзя подойти, не пройдя дважды по другим перекресткам. Докажем теперь, что в данном случае один перекресток останется не пройденным. Перекрестки условно можно раскрасить в шахматном порядке в белый и черный цвет. Каждая улица соединяет два перекрестка: один «черный», а другой — «белый». На нашей карте всего 36 перекрестков, по 18 каждого «цвета». Причем два перекрестка являются начальной и конечной точками пути, а остальные 34 еще надо посетить. Однако, расположение начальной и конечной точек пути таково, что обе этих точки имеют одинаковый цвет. Это означает, что среди оставшихся перекрестков будет 16 перекрестков одного цвета и 18 другого. Но ведь, чтобы пройти маршрут от О к В, надо построить такую последовательность точек, чтобы в ней чередовались цвета (черный-белый-черный и так далее). Имея в распоряжении 16 точек одного цвета и 18 другого, нельзя построить такую последовательность: из 18 точек одна останется лишней. Это и есть тот перекресток, на который не удастся зайти. И, кстати, «цвет» этого оставшегося перекрестка — не такой как у точек начала и конца, что видно на рисунке. Это будет справедливо и для любого другого маршрута с нашими начальными условиями. Пройти по улицам, зайдя на все перекрестки, можно будет лишь при таком расположении начала и конца, при котором эти точки окажутся разных «цветов». Или, что то же самое, если расстояние от начальной до конечной точки будет составлять нечетное число улиц.
