K^4-k^2 кратно 12 (1) Ш. И. (Шаг индукции) Проверим верно ли (1), при k=1:1^4-1^2=0 => 0 кратно 12 (верно) П. И. (Предположение индукции) Предположим, что (1) верно, при k=n, т.е.n^4-n^2 кратно 12 => n^2 (n^2-1) кратно 12Б. И. Докажем, что (1) верно, при k=n+1n+1) ^4- (n+1) ^2=(n+1) ^2 (n+1) ^2-1)=(n+1) ^2 (n+1+1) (n+1-1)=(n+1) ^2 (n+2) n=(n^2+2n+1) (n^2+2n)=n^4+2n^3+2n^3+4n^2+n^2+2n=n^2 (n^2+4n+5)+2n=n^2 (n^2+4n+6-1)+2n=n^2 (n^2-1)+n^2 (4n+6)+2n=n2 (n^2-1)+4n^3+6n^2+2n=n^2 (n^2-1)+2n (2n^2+3n+1), т.к. n^2 (n^2-1) кратно 12 по П. И., то по св-ву делимости №2, необходимо док-ть, что 2n (2n^2+3n+1) кратно 12 (2) Ш. И. Проверим верно ли (2), при n=1:2 (2+3+1)=12 => 12 кратно 12 (верно) П. И. Предположим, что (2) верно, при n=r, т.е.2r (2r^2+2r+1) кратно 12Б. И. Докажем, что (2) верно при n=r+1:2 (r+1) (2 (r+1) ^2+3 (r+1)+1)=(2r+2) (r+1) (2 (r+1)+3)+1)=(2r+2) (r+1) (2r+5)+1)=(2r+2) (2r^2+5r+2r+6)=(2r+2) (2r^2+7r+6)=4r^3+14r^2+12r+4r^2+14r+12=4r^3+6r^2+8r^2+2r+10r+4r^2+14r+12=2r (2r^2+3r+1)+12r^2+24r+12=2r (2r^2+3r+1)+12 (r^2+2r+1), т.к.2r (2r^2+3r+1) кратно 12 по П. И., а 12 (r^2+2r+1) кратно 12, т.к. 12 кратно 12 и (r^2+2r+1) принадлежит множеству натуральных чисел (т.е. по св-ву делимости№7) => по св-ву делимости№2 (2r (2r^2+3r+1)+12 (r^2+2r+1) кратно 12 => 2n (2n^2+3n+1) кратно 12 (исходя из метода математической индукции) => => (n^2 (n^2-1)+2n (2n^2+3n+1) кратно 12 по св-ву делимости№2 => => k^4-k^2 кратно 12 (исходя из метода математической индукции) ч.т. д. Св-во делимости№2: Если a кратно b и c кратно b, то (a+c) кратно b. Св-во делимости№7: Если a кратно b и c – любое натуральное число, то ac кратно b.
