47

Помогите пожалуйста решить тригонометрические уравнения…

accordh 27 ноября 2023

Помогите пожалуйста решить тригонометрические уравнения а) 6 cos^2+7sinx-8=0 б) 2 sin^2+sinx*cosx-cosx^2=0

категория: алгебра

41

А) Здесь заменим cos²x, на 1 — sin²x по основному тригонометрическому тождлеству. Получаем: 6 (1 — sin²x)+7sin x — 8=06 — 6sin²x+7sin x — 8=0-6sin²x+7sin x — 2=0Пусть sin x=t, причем |t| ≤ 1, тогда-6t²+7t — 2=06t² — 7t+2=0D=49 — 48=1t1=(7 — 1) / 12=6/12=1/2t2=(7+1) / 12=8/12=2/3Приходим к совокупности двух уравнений: sin x=1/2 или sin x=2/3x=(-1) ^k*π/6+πn ,n∈Z x=(-1) ^k arcsin 2/3+πk, k∈Z 2) Данное уравнение является однородным второй степени. Будем решать его специальным образом. Разделим все уравнение на cos²x, но сначала обоснуем, почему мы имеем правда делить на него. Если бы cos² x был равен 0, то тогда при подставновке в уравнение получили бы соответственно 2sin²x+0 — 0=0, то есть sin²x равен 0. Но этого не может быть, так как противоречит основному тригонометрическому тожелдству. Получили противоречие, следовательно, мы можем делить на cos²x. Теперь сделаем это: 2tg²x+tg x — 1=0 Введем замену. Пусть tg x=t, тогда 2t²+t — 1=0D=1+8=9t1=(-1 — 3) / 4=-4/4=-1t2=(-1+3) / 4=2/4=1/2Приходим к совокупности уравнений: tg x=-1 или tg x=1/2x=-π/4+πn, n∈Z x=arctg 1/2+πk, k∈ZЭто и есть корни данного уравнения.

пользователи выбрали этот ответ лучшим
Знаете другой ответ?

Есть интересный вопрос? Задайте его нашему сообществу, у нас наверняка найдется ответ!
Делитесь опытом и знаниями, зарабатывайте награды и репутацию, заводите новых интересных друзей!
Задавайте интересные вопросы, давайте качественные ответы и зарабатывайте деньги. Подробнее...