xy y 3y (_____ — _____): ______ x2-y2 2x-2y x2-y2

ОДЗ: x^2+y^2>0 1) Находим критические точки: dz/dx (d-круглые)=yln (x^2+y^2)+2x^2y/ (x^2+y^2) dz/dy=xln (x^2+y^2)+2xy^2/ (x^2+y^2) Решаем систему: уln (x^2+y^2)+2x^2y/ (x^2+y^2)=0 xln (x^2+y^2)+2xy^2/ (X^2+Y^2)=0 a) y1=0 xlnx^2=0->x1=0, x2=1 b) x3=0-> y2=0, y3=1 c) ln (x^2+y^2)=-2x^2/ (x^2+y^2) ln (x^2+y^2)=2y^2/ (x^2+y^2) ->x^2=y^2-> ln2x^2=-1->2x^2=1/e->x4,5=+-1/sqrt (2e); y=+-1/sqrt (2e) Итак у нас критические точки: x=0; y=0-не может быть, так как (x^2+y^2) >0 x=o,y=1 x=1; y=0 x=1/sqrt (2e); y=1/sqrt (2e) x=1/sqrt (2e); y=-1/sqrt (2e) x=-1/sqrt (2e); y=1/sqrt (2e) x=-1/sqrt (2e); y=-1/sqrt (2e) 2) Находим производные второго порядка в критических точках A=d2z/dx2=(2xy (x^2+3y^2) / (x^2+y^2) ^2 C=d2z/dy2=(2xy (3x^2+y^2) / (x^2+y^2) ^2 B=d2z/dxdy=ln (x^2+y^2)+(x^4+y^4) / (x^2+y^2) ^2 a) x=0; y=1 A=0; B=0,C=0-может быть, а может нет b) x=1; y=0 A=0; B=0; C=0-может быть, а может нет с) x=1/sqrt (2e); y=1/2sqrt (2e) A=2; B=0; C=2->AC-B^2=4>0; A>0-минимум d) x=1/sqrt (2e); y=-1/sqrt (2e) A=-2; B=0: C=-2->AC-B^2=4>0; A<0-максимум e) x=-1/sqrt (2e); y=1/sqrt (2e) — максимум f) x=-1/sqrt (2e); y=-1/sqrt (2e) — минимум Ответ: zmax=1/2e- в точках x=1/sqrt (2e); y=-1/sqrt (2e) и x=-1/sqrt (2e); y=1/sqrt (2e) zmin=-1/2e-в точках x=y=1/sqrt (2e) и x=y=-1/sqrt (2e)