Доброй ночи! Представим дробь 1/n (n+1) (n+2) в виде суммы дробей A/n+B/ (n+1)+C/ (n+2) Приведем к единому знаменателю и получим такой числительА (n+1)*(n+2)+B (n*(n+2)+C (n*(N+1)=A (n2+3n+2)+B (n2+2n)+C (n2+n)=n2 (A+B+C)+n (3A+2B+C)+2AЧислитель должен быть равен 1. Данное условие должно выполняться при лююбом n. Получаем, коэффиуиенты при n2 и n должны быть равны 0, а 2A=1 A=1/2A+B+C=03A+2B+C=0Вычитаем из второго уравнения первое и получаем равносильное уравнение 2A+B=0. B=-1C=1/2 Получаем, 1/n (n+1) (n+2)=1/ (2n) — 1/ (n+1)+1/2 (n+2) n=1 1/2 — 1/2+1/6n=2 1/4 — 1/3+1/8n=3 1/6 — 1/4+1/10n=4 1/8 — 1/5+1/12 сумма первых членов равна 1/4 — 1/10+1/12n=5 1/10 — 1/6+1/14 сумма пяти членов равна 1/4 -1/12+1/14 или равна 1/4 — 1/2 (n+1)+1/2 (n+2) Покажем по индукции что начиная со второго сумма членов указанной последовательности вычисляется по формуле 1/4 — 1/2 (n+1)+1/2 (n+2) n=1По формуле получаем 1/4 — 1/2*3+1/ 2*4=1/4 — 1/6+1/8=сумме первых двух членов. Проверьте сами. Сумма первых четрех членов равна=формуле 1/4 — 1/2 (n+1)+1/2 (n+2) с n=4 Покажем теперь, что если сумма первых k членов заданной последовательности вычисляется по формуле 1/4 — 1/2 (k+1)+1/2 (k+2) То и для суммы k+1 члена последовательности формула выполняется. Sk=1/4 — 1/2 (k+1)+1/2 (k+2) — сумма первых k членов последовательности.Sk+1=Sk+1/ (k+1) (k+2) (k+3)=1/4 — 1/2 (k+1)+1/2 (k+2)+1/ (2 (k+1) — 1/ (k+1+1)+1/2 (k+1+2)=1/4+1/2 (k+2) — 1/ (k+2)+1/ (2 (k+3)=1/4 — 1/2 (k+2)+1/2 (k+3) То есть формула верна и для суммы к +1 одного члена последовательности. Ответ: Sn=1/4 -1/2 (n+1)+1/2 (n+2)
